è un autovettore per t se si ha t(v)=kv per un certo numero reale k (cioè se il trasformato di v è un multiplo di v); k prende il nome di autovalore per t relativo all'autovettore v.

Nella figura dinamica seguente puoi impostare i valori a, b, c, d della matrice M (trascinandoli sull'asse delle x); in tal modo resta definita la trasformazione lineare t(v)=Mv. Puoi inoltre trascinare il vettore azzurro che rappresenta un generico vettore v del piano (devi afferrare il vettore per la punta). Il vettore rosso è il trasformato di v (ed è quindi dipendente, non trascinabile, varia al variare di v). Per determinare gli eventuali autovettori di t devi vedere se, trascinando il vettore azzurro, puoi allinearlo col vettore rosso. Trovato un allineamento, cioè un autovettore, leggi il corrispondente autovalore k nel campo grigio. Ad esempio ogni vettore del piano è autovettore per la trasformazione identica con relativo autovalore 1 (prova!). Per traslare l'intero piano, trascinalo tenendo premuto il pulsante destro del mouse; per cambiare la scala trascina una graduazione.




 Esperimento 1

Considera la trasformazione lineare di matrice

Si tratta di uno stiramento rispetto agli assi coordinati. Agendo sulla figura (facendo fare al vettore azzurro un giro completo attorno all'origine), verifica che:

• Tutti i vettori con la punta sull'asse delle x (escluso il vettore nullo, s'intende e non lo diremo più), ad esempio v=[1, 0], sono autovettori, il relativo autovalore è 2. Ciò significa che l'asse delle x è retta unita cioè ogni suo punto è trasformato in un punto che appartiene ancora all'asse delle x.
  
  

• Tutti i vettori con la punta sull'asse delle y, ad esempio v=[0, 1], sono autovettori, il relativo autovalore è 3. Anche l'asse delle y è retta unita per la trasformazione.
  
  

• Non ci sono altri autovettori.

Considera la trasformazione lineare di matrice

Si tratta di un'omotetia con centro nell'origine e rapporto 2 (puoi pensare ad uno stiramento uniforme rispetto ad ogni direzione del piano). Agendo sulla figura, verifica che:

• Tutti i vettori v = [x, y] del piano sono autovettori, il loro autovalore è 2. Ogni retta per l'origine è retta unita.

Considera la trasformazione lineare di matrice

Si tratta di una rotazione di 90° con centro nell'origine. Agendo sulla figura, verifica che:

• Non esistono autovettori. Ogni vettore v viene trasformato in un vettore v' ruotato di 90° e di stesso modulo (ovviamente, perchè si tratta di un'isometria).

Considera la trasformazione lineare di matrice

Si tratta di una simmetria rispetto all'asse delle x. Agendo sulla figura, verifica che:

• I vettori che hanno la punta sull'asse delle x oppure sull'asse delle y sono autovettori (di autovalore 1, perchè si tratta si un'isometria).
  
  

• L'asse delle y è asse unito ma nessun suo punto, a parte l'origine, è unito. L'asse delle x è asse unito e, di più, ogni suo punto è punto unito.

Considera la trasformazione lineare di matrice

Si tratta di una simmetria rispetto all'origine. Agendo sulla figura, verifica che:

• Tutti i vettori v = [x, y] del piano sono autovettori, il loro autovalore è 1 (perchè si tratta di un'isometria). Ogni retta per l'origine è retta unita.