Figura successiva    Figura precedente    Home




Autovettori e autovalori


Sia t la trasformazione lineare di matrice

Un vettore non nullo

un autovettore per t se si ha t(v)=kv per un certo numero reale k (cio se il trasformato di v un multiplo di v); k prende il nome di autovalore per t relativo all'autovettore v.

Nella figura dinamica seguente puoi impostare i valori a, b, c, d della matrice M (trascinandoli sull'asse delle x); in tal modo resta definita la trasformazione lineare t(v)=Mv. Puoi inoltre trascinare il vettore azzurro che rappresenta un generico vettore v del piano (devi afferrare il vettore per la punta). Il vettore rosso il trasformato di v (ed quindi dipendente, non trascinabile, varia al variare di v). Per determinare gli eventuali autovettori di t devi vedere se, trascinando il vettore azzurro, puoi allinearlo col vettore rosso. Trovato un allineamento, cio un autovettore, leggi il corrispondente autovalore k nel campo grigio. Ad esempio ogni vettore del piano autovettore per la trasformazione identica con relativo autovalore 1 (prova!). Per traslare l'intero piano, trascinalo tenendo premuto il pulsante destro del mouse; per cambiare la scala trascina una graduazione.




 Esperimento 1

Considera la trasformazione lineare di matrice

Si tratta di uno stiramento rispetto agli assi coordinati. Agendo sulla figura (facendo fare al vettore azzurro un giro completo attorno all'origine), verifica che:

  • Tutti i vettori con la punta sull'asse delle x (escluso il vettore nullo, s'intende e non lo diremo pi), ad esempio v=[1, 0], sono autovettori, il relativo autovalore 2. Ci significa che l'asse delle x retta unita cio ogni suo punto trasformato in un punto che appartiene ancora all'asse delle x.

  • Tutti i vettori con la punta sull'asse delle y, ad esempio v=[0, 1], sono autovettori, il relativo autovalore 3. Anche l'asse delle y retta unita per la trasformazione.

  • Non ci sono altri autovettori.




 Esperimento 2

Considera la trasformazione lineare di matrice

Si tratta di un'omotetia con centro nell'origine e rapporto 2 (puoi pensare ad uno stiramento uniforme rispetto ad ogni direzione del piano). Agendo sulla figura, verifica che:

  • Tutti i vettori v = [x, y] del piano sono autovettori, il loro autovalore 2. Ogni retta per l'origine retta unita.




 Esperimento 3

Considera la trasformazione lineare di matrice

Si tratta di una rotazione di 90 con centro nell'origine. Agendo sulla figura, verifica che:

  • Non esistono autovettori. Ogni vettore v viene trasformato in un vettore v' ruotato di 90 e di stesso modulo (ovviamente, perch si tratta di un'isometria).




 Esperimento 4

Considera la trasformazione lineare di matrice

Si tratta di una simmetria rispetto all'asse delle x. Agendo sulla figura, verifica che:

  • I vettori che hanno la punta sull'asse delle x oppure sull'asse delle y sono autovettori (di autovalore 1, perch si tratta si un'isometria).

  • L'asse delle y asse unito ma nessun suo punto, a parte l'origine, unito. L'asse delle x asse unito e, di pi, ogni suo punto punto unito.




 Esperimento 5

Considera la trasformazione lineare di matrice

Si tratta di una simmetria rispetto all'origine. Agendo sulla figura, verifica che:

  • Tutti i vettori v = [x, y] del piano sono autovettori, il loro autovalore 1 (perch si tratta di un'isometria). Ogni retta per l'origine retta unita.