Anche un ragazzino sa che la somma degli angoli di un triangolo, di qualsiasi triangolo, è di 180°. Perché è così?

Potremo fare delle verifiche sperimentali, misurando gli angoli di alcuni triangoli: verificheremo, con una certa approssimazione, che la somma dei tre angoli è sempre uguale ad un angolo piatto.

Triangolo dinamico: nell'immagine interattiva di GeoGebra segmenti dello stesso colore rimangono paralleli; puoi verificare visivamente che la somma degli angoli del triangolo è sempre uguale ad un angolo piatto.

Ma una proprietà così importante meriterebbe una maggiore riflessione. Questa proprietà euclidea dei triangoli, all'apparenza così innocua, nasconde infatti una delle questioni più profonde della matematica. Una questione che ha impegnato i matematici per oltre due millenni.

Il grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss (1777-1855) non era del tutto convinto che la somma degli angoli di un triangolo fosse realmente di 180° tanto che nel 1820, avendo avuto l'incarico di eseguire rilevamenti cartografici dallo stato di Hannover, ebbe cura di eseguire delle misurazioni su grandi triangoli i cui vertici si trovavano sulle cime di montagne (visibili nonostante la curvatura della terra). Il più grande di questi triangoli aveva come vertici le cime dei monti Hohenhagen, Brocken e Inselberg, e il lato maggiore misurava 107 km. Progettò egli stesso un raffinato strumento ottico in grado di riflettere un raggio luminoso in una sola direzione. Ma gli esperimenti non mostrarono alcun apprezzabile scostamento dalla previsione euclidea: lo somma degli angoli risultò di 180°, nei limiti dell'accuratezza degli strumenti. Non è irrilevante, però, che Gauss nutrisse questo dubbio; in realtà Gauss dubitava, come vedremo, del carattere euclideo dello spazio.

Allora, perché la somma degli angoli di un triangolo è, nel piano euclideo, di 180°? Per rispondere dobbiamo occuparci di alcune questioni cruciali concernenti le rette parallele.