Costruire poligoni regolari

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7. Costruire poligoni regolari
       Istruzioni esaminate: lt

Cominciamo a tracciare con il Logo un triangolo equilatero. La figura a fianco ci fa capire che la tartaruga deve compiere tre rotazioni di 120° (non dimenticando che gli angoli di rotazione della tartaruga sono angoli esterni). Ecco allora la procedura:
to TriangoloEquilatero :LATO
   repeat 3 [fd :LATO rt 120]
end

Se volessimo ottenere un triangolo con un lato orizzontale dovremmo modificare la procedura nel modo seguente
to TriangoloEquilatero :LATO
   rt 30
   repeat 3 [fd :LATO rt 120]
   lt 30
end

Ci rendiamo conto della necessità della prima istruzione rt 30, che fa ruotare la tartaruga di 30° verso destra, osservando la figura qui a fianco; alla fine per riorientare la tartaruga verso nord è opportuno dare l'istruzione lt 30 che la fa ruotare a sinistra di 30° (lt sta per left, sinistra).

Sappiamo costruire, per il momento, due tipi di poligoni regolari: i quadrati e i triangoli equilateri. Ma se riflettiamo sulle relative procedure ci rendiamo conto di essere a un passo da una procedura più generale che ci consenta di generare qualsiasi poligono regolare. Infatti per tracciare un poligono regolare di n lati la tartaruga dovrà:

Eseguire n avanzamenti tutti uguali (cioè di uno stesso numero di passi).

Eseguire n rotazioni tutte uguali. Poiché alla fine della costruzione la tartaruga deve ritornare con l'orientamento iniziale (all'inizio la tartaruga è orientata verso nord, alla fine del suo cammino è di nuovo orientata verso nord), la rotazione complessiva eseguita deve essere di un giro completo, cioè di 360°. Ma le rotazioni, si è detto, sono tutte uguali quindi ciascuna di esse è pari a 360/n gradi.

E' allora facile scrivere la procedura, indicando con N il numero dei lati e con LATO la misura del lato del poligono regolare:
to PoligonoRegolare :N :LATO
   repeat :N [fd :LATO rt 360/:N]
end

Nella schermata seguente vedete alcuni poligoni regolari tracciati con questa procedura (dal triangolo equilatero al dodecagono regolare).

Come vedete i poligoni sono di colori diversi; per ottenere questi effetti cromatici non dovete far altro che utilizzare l'opzione "PenColor" che trovate nel menu "Set" della finestra principale. Questa opzione vi consente di scegliere tra 8 colori di base oppure di definire un colore personalizzato su oltre 16 milioni di sfumature possibili (vedi figura). Il colore selezionato verrà assunto per tutte le figure tracciate successivamente. Naturalmente potremo impostare un colore anche mediante un'istruzione ma di questo ci occuperemo tra non molto. Tenete presente che mediante le opzioni "ScreenColor" e "FloodColor" potete cambiare anche il colore dello sfondo del mondo della tartaruga (che per il momento è bianco) e il colore del "riempimento" di una figura (ce ne occuperemo più avanti).

E' anche molto facile scrivere la procedura per ottenere poligoni regolari con la base orizzontale. Nel caso del triangolo equilatero dovevamo operare una rotazione iniziale di 90-α gradi dove α è l'angolo interno del triangolo. La stessa cosa dovremo fare per un generico poligono regolare, tenendo presente che in questo caso α=180-360/n. Ecco la procedura:
to PoligonoRegolareOriz :N :LATO
   rt 90-(180-360/:n)
   repeat :N [fd :LATO rt 360/:N]
   lt 90-(180-360/:n)
end

Nella schermata seguente vedete alcuni poligoni generati con questa nuova procedura.

Quest'ultima schermata mostra un poligono regolare di 360 lati: come vedete è indistinguibile da una circonferenza.

La procedura PoligonoRegolare :N :LATO ci ha consentito, sul piano didattico, di toccare e di mettere a fuoco tre questioni importanti.

a) Abbiamo potuto riflettere sulle proprietà angolari dei poligoni regolari. L'idea di fondo è molto semplice: per tracciare un cammino chiuso la tartaruga deve ritornare nel punto di partenza con l'orientamento iniziale e ciò avviene quando la rotazione complessiva, cioè la somma di tutte le rotazioni eseguite, è di 360°. Nel caso dei poligoni regolari ciò implica che gli angoli esterni, che sono uguali, siano di 360/n gradi. Ne segue che gli angoli interni sono di 180-360/n gradi.

b) Ci siamo resi conto che la costruzione di un poligono regolare dipende da due soli parametri (variabili): il numero dei lati e la lunghezza del lato. Se fisso il numero dei lati e la misura del lato, posso costruire un unico poligono regolare (non tenendo conto, ovviamente, della sua disposizione nel piano). Se fisso il numero dei lati e faccio variare la misura del lato, ottengo poligoni più o meno grandi ma tutti della stessa forma (simili).

c) Ci siamo resi conto che un poligono regolare con un gran numero di lati (e non troppo esteso) appare sullo schermo indistinguibile da una circonferenza. Ciò suggerisce l'idea che la circonferenza possa essere approssimata mediante poligoni regolari e avvicina i ragazzi, in modo intuitivo, alla nozione di limite.