Considerate un triangolo ABC e un suo lato qualsiasi, ad esempio BC. Tracciate la retta r parallela al lato BC e passante per A. Tale retta è unica per il quinto postulato. I due angoli 2 e 2' e i due angoli 3 e 3' sono uguali per il teorema 1 dimostrato nel paragrafo precedente, i lati AB e AC tagliano infatti rette parallele. Ne segue che la somma dei tre angoli del triangolo è uguale a un angolo piatto cioè è uguale a 180°.

Ci siamo allora resi conto come l'invarianza della somma degli angoli interni di un triangolo discenda da una proprietà delle rette parallele, il teorema 1, che si fonda sul quinto postulato di Euclide. Ma c'è di più: si potrebbe dimostrare che tale proprietà angolare dei triangoli è perfettamente equivalente al quinto postulato.

Si può dunque pensare che in un modello geometrico in cui venga a cadere il quinto postulato, la somma degli angoli di un triangolo non sia più uguale ad un angolo piatto.