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Immaginiamo che il nostro ambiente geometrico non sia più il piano euclideo ma la superficie di una sfera. Il piano e la superficie di una sfera sono entrambi ambienti geometrici bidimensionali, diremo anche: spazi a due dimensioni. Useremo due simboli: E² per il piano euclideo, S² per la superficie di una sfera (il 2 che compare in alto a destra delle lettere sta a ricordarci che si tratta di ambienti che hanno dimensione 2).

Il concetto di dimensione di un oggetto geometrico ha un suo fondamento intuitivo: un punto ha dimensione 0, tutte le linee hanno dimensione 1, tutte le superfici hanno dimensione 2, tutte le figure solide hanno dimensione 3. Se tuttavia si vuole approfondire tale concetto si può ricorrere ai sistemi di coordinate. Sia nel caso di E² che nel caso di S² abbiamo bisogno di due parametri continui (cioè di due coordinate) per individuare un punto P.

Nel caso di E² si tratta delle normali coordinate cartesiane (ascissa e ordinata), nel caso di S² si tratta delle coordinate geografiche (longitudine e latitudine, che sono misure angolari). E' importante osservare che la corrispondenza tra punti e coordinate, oltre ad essere biunivoca (eccettuando i poli), è, in entrambi i casi, bicontinua: se variamo di poco la posizione di P, cambieranno di poco le sue coordinate (e viceversa).

Coordinate geografiche

La superficie di una sfera è, come si è detto, un oggetto geometrico bidimensionale; ma possiamo concepirlo solo se immerso nello spazio tridimensionale. La stessa definizione di superficie sferica come luogo di punti dello spazio che hanno la stessa distanza da un punto dato O (il centro della superficie sferica) richiede una terza dimensione. E tuttavia degli esseri bidimensionali che fossero confinati sulla superficie di una sfera potrebbero benissimo studiare la geometria di questo "mondo" bidimensionale. Inutile dire che un essere bidimensionale percepirebbe la superficie della sfera, cioè il suo mondo, in modo ben diverso da come lo percepiamo noi. Il punto di vista di un essere bidimensionale, nello studio della geometria della sfera, lo chiameremo intrinseco. La cosa è tutt'altro che banale, un essere bidimensionale non ha la minima idea di cosa sia lo spazio tridimensionale così come noi non abbiamo la più pallida intuizione di cosa sia un spazio a quattro dimensioni. Chiameremo invece estrinseco il nostro punto di vista tridimensionale che ci consente di contemplare la superficie di una sfera immersa nello spazio.

L'autore inglese E. A. Abbot, in un celebre libro del 1884, Flatland, descrive un mondo planare abitato da creature bidimensionali. Possiamo immaginarle come monete infinitamente sottili sulla superficie di un tavolo o come macchie di inchiostro su un foglio di carta. Gli abitanti di Flatlandia sono in realtà della figure geometriche; ecco come il Quadrato, protagonista del racconto, presenta il suo mondo:

Immaginate un vasto foglio di carta su cui delle Linee Rette, dei Triangoli, dei Quadrati, dei Pentagoni, degli Esagoni e altre figure geometriche, invece di restar ferme al loro posto, si muovano qua e là, liberamente, sulla superficie o dentro di essa, ma senza potersene sollevare e senza potervisi immergere, come delle ombre, insomma, consistenti, però, e dai contorni luminosi. Così facendo avrete un'idea abbastanza corretta del mio paese e dei miei compatrioti. Ahimè, ancora qualche anno fa avrei detto: "del mio universo", ma ora la mia mente si è aperta a una più alta visione delle cose.