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Tutti sanno che il percorso più breve che collega due punti P e Q nel piano euclideo è un segmento di linea retta. Le rette sono dunque caratterizzate da una proprietà di "minimo":

Proprietà 1 Comunque presi due punti P e Q su una retta r, il segmento PQ di r è il percorso più breve da P a Q tra tutti i percorsi possibili.

La proprietà 1 può essere efficacemente illustrata in questo modo. Se mettiamo in tensione un elastico tra due spilli, vediamo che l'elastico si dispone sul percorso minimo cioè su un segmento di linea retta. Se proviamo a spostare l'elastico e poi lo lasciamo andare, ci accorgiamo che dopo qualche oscillazione riassume lo stato di minima tensione.

Passiamo ora a considerare la superficie di una sfera. La nostra ipotesi è che le circonferenze massime abbiano lo stesso ruolo delle rette nel piano. Dovremmo allora verificare che esse ci forniscono il percorso più breve tra due punti di S². Procediamo sperimentalmente: prendiamo una palla di polistirolo, evidenziamo su di essa una circonferenza massima, ad esempio applicando una strisciolina di cartoncino come nella figura seguente, e fissiamo un elastico con degli spilli in modo che sia in leggera tensione tra due punti P e Q di tale circonferenza. Vedremo che l'elastico si dispone esattamente su un arco della circonferenza massima; e se proveremo ad allontanarlo da tale posizione, facendolo rimanere sulla superficie sferica, vedremo che, una volta lasciato libero, si ridisporrà sulla circonferenza massima.

Possiamo allora concludere che l'arco minore PQ di circonferenza massima è il percorso più breve, sulla superficie sferica, tra i punti P e Q. Sono qui necessarie due osservazioni:

• (a) Dobbiamo precisare che si tratta dell'arco minore, infatti i due punti P e Q, che supponiamo non essere antipodali, staccano sulla circonferenza massima due archi, uno maggiore e l'altro minore: l'arco che a noi interessa è chiaramente l'arco minore.
  
  

  

• (b) Se i punti P e Q fossero antipodali avremmo infiniti percorsi minimi (tutte le semicirconferenze massime per P e Q); qui compare una differenza con le rette euclidee (che i punti antipodali ci creassero qualche problema lo abbiamo già capito alla fine del paragrafo 7). Se tuttavia ci limitiamo a considerare punti non antipodali il problema non si pone: il percorso minimo è unico ed è l'arco minore dell'unica circonferenza massima per P e Q.

Percorso più breve tra due punti sulla superficie di una sfera

Il percorso più breve sulla superficie di una sfera è sempre un arco minore o, al più, una semicirconferenza massima

Una volta determinato il percorso minimo tra due punti sulla superficie sferica abbiamo anche introdotto una nozione intrinseca di distanza tra due punti: è la lunghezza dell'arco minore di circonferenza massima che collega P con Q; se i due punti fossero antipodali assumeremo come loro distanza la lunghezza di una semicirconferenza massima.

I punti P e Q della figura seguente, ad esempio, hanno, sulla superficie della sfera, una distanza pari a un quarto di circonferenza massima. Se assumiamo che la nostra sfera abbia raggio unitario allora ogni circonferenza massima ha lunghezza 2π e la distanza intrinseca di P da Q è π/2. Nello spazio ordinario misureremmo la distanza di P da Q tenendo conto della terza dimensione e quindi la distanza (estrinseca) di P da Q sarebbe √2 (cioè la lunghezza del segmento euclideo PQ che attraversa la superficie sferica). Per noi che vogliamo studiare la geometria su S², cioè la geometria intrinseca di S², distanza significa naturalmente distanza intrinseca.

Ci siamo dunque resi conto che le circonferenze massime sono caratterizzate dalla seguente proprietà:

Proprietà 2 Comunque presi due punti non antipodali P e Q su una circonferenza massima γ, l'arco minore PQ di γ è il percorso più breve da P a Q tra tutti quelli possibili sulla superficie della sfera.

L'analogia tra le proprietà 1 e 2 è molto forte. Le linee rette del piano euclideo sono caratterizzate come "linee più brevi" così come lo sono le circonferenze massime di S². L'unica differenza, come si è detto, consiste nella non unicità del percorso minimo quando si considerano, su S², punti antipodali. Ma il caso dei punti antipodali può essere considerato come un caso eccezionale; se considerassimo su S² solamente punti "abbastanza vicini" il problema non si porrebbe.

Che i punti antipodali costituiscano una situazione eccezionale lo possiamo capire anche riflettendo sul fatto che la distanza tra due punti qualsiasi P e Q di S², assumendo una sfera unitaria, è sempre minore o uguale a π

Distanza(P, Q) ≤ π