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7. Circonferenze massime

Prima di rispondere alla domanda posta alla fine del paragrafo precedente dobbiamo fare alcune osservazioni (estrinseche) sulla geometria della sfera.

Ricordiamo in primo luogo le definizioni di sfera e superficie sferica. Indichiamo con O un punto dello spazio e con r un numero reale positivo (raggio). Chiameremo sfera l'insieme dei punti dello spazio ordinario (euclideo) che hanno distanza minore o uguale a r da O (il centro della sfera); chiameremo superficie sferica l'insieme dei punti che hanno distanza uguale a r da O. La sfera Ŕ un oggetto solido, tridimensionale, mentre la superficie sferica Ŕ un oggetto bidimensionale costruito nello spazio tridimensionale. Osserva la figura seguente: il punto verde Ŕ il centro della sfera, il punto giallo ha distanza dal centro minore del raggio ed Ŕ quindi un punto della sfera, il punto azzurro ha distanza uguale al raggio ed Ŕ un punto della superficie sferica.

Ogni piano che tagli una sfera determina per sezione un cerchio; i cerchi sezione hanno naturalmente raggi diversi: si va da una situazione limite di raggio nullo (il cerchio sezione degenera in un punto, il piano Ŕ tangente) alla situazione in cui il raggio Ŕ massimo ed Ŕ uguale al raggio della sfera. In quest'ultimo caso il piano che sega la sfera passa per il centro della sfera: diremo che la sezione Ŕ un cerchio massimo e sulla superficie sferica viene individuata una circonferenza massima.

Per rendervi conto che comunque sia disposto il piano secante rispetto alla sfera si ottiene sempre per sezione un cerchio (a causa della simmetria della sfera) Ŕ di grande utilitÓ manipolare una figura dinamica.

Sezioni sfera
Sezioni sfera (animazione)

Domanda La nostra definizione di circonferenza massima Ŕ intrinseca o estrinseca? Un essere bidimensionale che vive sulla superficie della sfera pu˛ avere percezione di cosa sia il centro del suo mondo? Oppure pu˛ avere percezione di cosa significhi tagliare il suo mondo con un piano che si muove nello spazio tridimensionale?

[Soluzione. E' una definizione estrinseca.]


Dobbiamo ora esaminare due semplici ma importanti proprietÓ delle circonferenze massime. Ci serve prima una definizione: due punti P e P' sulla superficie di una sfera si dicono antipodali o opposti se sono allineati con il centro O della sfera (anche questa Ŕ una definizione estrinseca). Ad esempio i punti P e P' e i punti Q e Q' della figura seguente sono antipodali (mentre non lo sono P e Q).



Punti antipodali

Ecco le due proprietÓ.

ProprietÓ 1 Per ogni punto P sulla superficie di una sfera passano infinite circonferenze massime.

ProprietÓ 2 Sulla superficie di una sfera, per ogni coppia P, Q di punti non antipodali passa una e una sola circonferenza massima.

Le due proprietÓ si dimostrano facilmente. Per la prima osserveremo che per un punto P e il centro O passano infiniti piani (possono ruotare liberamente attorno all'asse PO): ciascuno di essi, passando per il centro O, stacca sulla superficie della sfera una circonferenza massima. Nella figura seguente ne vedete ad esempio tre.

Per la seconda osserveremo che per tre punti non allineati P, Q ed O passa uno e un solo piano che, contenendo O, individua sulla superficie della sfera un'unica circonferenza massima (P, Q ed O non sono allineati perchŔ, per ipotesi, P e Q non sono antipodali). E' chiaro invece che se i punti sono antipodali per essi passano infinite circonferenze massime.

Notate che qui si utilizza una proprietÓ euclidea dei piani: per tre punti non allineati dello spazio passa uno e un solo piano. Si tratta di una proprietÓ intuitivamente evidente che in una trattazione formale verrebbe assunta come assioma; se non siete convinti potete ricorrere all'esempio di una porta: se Ŕ fissata per due punti - i due cardini - Ŕ libera di ruotare, se fissiamo un ulteriore punto, il punto di serratura, la porta rimane bloccata (il punto di serratura non Ŕ allineato con i cardini). Ora un'osservazione pi¨ sottile. Le dimostrazioni precedenti si fondano sulle proprietÓ dell'ordinario spazio euclideo. Dunque la costruzione del nostro modello di geometria non euclidea (la geometria sulla sfera) e lo studio delle sue proprietÓ si basa sulla geometria euclidea dello spazio ordinario. Utilizziamo la geometria euclidea per costruire un modello non euclideo.

Adesso attenzione, siamo arrivati a un punto cruciale: la proprietÓ 2 delle circonferenze massime ci fornisce un "indizio" molto forte su ci˛ che potrebbero essere, sulla superficie di una sfera, le linee "rette". Ragioneremo per analogia. Nel piano euclideo una retta Ŕ individuata in modo univoco da due punti ed Ŕ l'unica linea a godere di questa proprietÓ (ad esempio per individuare una circonferenza ci vogliono tre punti).

Analogamente sulla superficie di una sfera una circonferenza massima Ŕ individuata in modo univoco da due punti purchÚ non siano antipodali. Se si esclude il caso di punti antipodali, che potremmo assumere come una sorta di eccezione, per due punti passa una e una sola circonferenza massima. Possiamo allora assumere che le linee "rette" sulla superficie di una sfera siano le circonferenze massime? Cerchiamo conferme di tipo intuitivo a questa ipotesi.

Domanda C'Ŕ un aspetto che sembra rompere l'analogia tra rette nel piano euclideo e circonferenze massime sulla sfera: due circonferenze massime si intersecano sempre in due punti antipodali. Sapete dimostrarlo?

Intersezione di due circonferenze massime

[Soluzione. Si considerano i due piani secanti π1 e π2 che individuano le due circonferenze massime; tali piani avendo in comune il centro O della sfera hanno in comune una retta r passante per O. La retta r incontra la superficie S della sfera in due punti antipodali che appartengono ad entrambe le circonferenze massime. Per i dettagli della dimostrazione scarica la diapositiva.]