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Per il momento l'unica superficie curva di cui abbiamo individuato le geodetiche è la superficie sferica; tale superficie, come si intuisce, è la più facile da studiare ed è quella che più ci interessa. E' opportuno però, per chiarire la nozione di linea geodetica, studiare qualche altra situazione: in questo paragrafo ci occuperemo delle geodetiche sulla superficie di un cilindro e in quello successivo delle geodetiche sul cubo.

Procediamo in questo modo: tracciamo su un foglio trasparente, ad esempio su un lucido, alcune rette con inclinazione diversa come vedete nella figura a fianco. Arrotoliamo poi il lucido in direzione orizzontale in modo che il foglio si sovrapponga più volte a se stesso. Otterremo, come è chiaro, un cilindro (senza basi). Ma, attenzione, le linee rette sulla superficie piana del lucido si sono trasformate, quasi per magia, in stupende linee curve ad elica sulla superficie del cilindro.

Nella figura seguente vedete le quattro curve che si ottengono "arrotolando" le rette r, s, t ed u; qui si è utilizzato un lucido e le rette sono state tracciate utilizzando un correttore a nastro.

Tutte le linee ottenute sono linee geodetiche: tenete infatti presente che si passa dal piano (foglio) al cilindro (foglio arrotolato) operando una flessione senza dilatazione. Ciò significa che la distanza tra due punti A e B presi su una retta del foglio rimane invariata quando la retta si arrotola sul cilindro (fatta eccezione per il caso della retta u che si arrotola su stessa). Si intuisce quindi che le geodetiche sul foglio si trasformano in geodetiche sul cilindro. La figura seguente mostra che una flessione del foglio conserva la distanza tra due punti, misurando la distanza tra i due punti sulla superficie e non nello spazio.

Se questo discorso non vi convince fate una verifica diretta col metodo dell'elastico (vedi paragrafo 8), utilizzando un cilindro di cartone (ricavabile da uno dei tanti rotoli che si trovano nelle nostre case) e considerando archi non troppo lunghi su ciascuna geodetica.

Le linee curve r, s, t, u si chiamano eliche circolari e trovano applicazioni in vari campi. In particolare r è una retta (generatrice del cilindro) e u è una circonferenza che si trova su un piano perpendicolare all'asse del cilindro. Notate che le eliche in figura hanno passo diverso; il passo di un'elica circolare è la distanza costante tra due "spire" successive, ad esempio s ha un passo maggiore di t.

Osservate che partendo dalla posizione di r sul foglio (retta verticale) e aumentando gradualmente l'inclinazione della retta fino ad arrivare alla disposizione orizzontale di u, le corrispondenti eliche sul cilindro hanno un passo che va via via diminuendo (dalla situazione estrema di r che ha passo infinito all'altra situazione estrema di u che ha passo zero). Naturalmente sulla superficie del cilindro esistono infinite eliche di passo diverso. Possiamo considerare anche le linee r ed u come particolari eliche circolari, la prima, come si è detto, di passo infinito, la seconda di passo zero. Si potrebbe dimostrare che tutte le geodetiche della superficie cilindrica sono eliche circolari (tenendo conto anche di quelle del tipo r e del tipo u).

Ora attenzione, riflettiamo sulla fotografia seguente, ottenuta come al solito arrotolando un lucido su cui, però, sono tracciate due rette con diversa inclinazione. Come vedete per i punti P e Q passano due archi di linee geodetiche: un primo arco è stato evidenziato con tratteggio rosso e un secondo arco parte da P, passa dietro al cilindro e raggiunge Q.

E' chiaro che il percorso più breve tra P e Q è il primo arco (su questo si disporrebbe l'elastico). La cosa da capire è allora questa: i due punti P e Q staccano un arco che possiamo considerare non troppo lungo sulla prima geodetica ma non sulla seconda. Si può inoltre osservare che per P e Q passano infinite geodetiche (basta considerare eliche da P a Q con passo via via decrescente) ma per nessuna di esse, eccetto la prima indicata, l'arco PQ può considerarsi non troppo lungo (anzi via via che il passo decresce l'arco PQ diventa sempre più lungo). Notate infine che le due geodetiche in fotografia, se prolungate idealmente, si intersecano in infiniti punti! Se tuttavia considerate una regione limitata di cilindro in modo che le geodetiche si "arrotolino" sulla superficie per meno di mezzo giro avrete una geometria di tipo euclideo.

Domanda Provate ad arrotolare il solito lucido nell'altro modo possibile (ribaltando il foglio prima di arrotolarlo). Otterrete così la stessa geodetica sul cilindro? (Cioè la stessa elica circolare?)

[Soluzione. No, si ottiene un'elica non sovrapponibile alla prima benché, come vedi in figura, le due curve siano simmetriche rispetto ad un piano. La prima è un'elica destrorsa, cioè si avanza nella direzione del vettore ruotando in senso antiorario; la seconda è un'elica sinistrorsa, cioè si avanza nella direzione del vettore ruotando in senso orario.]

Domanda Sapete trovare le equazioni di un'elica circolare?

[Soluzione. Un'elica circolare è un oggetto geometrico a dimensione uno perciò un punto P =(x, y, z) variabile sulla curva deve dipendere da un unico parametro t; le equazione saranno del tipo x=x(t), y=y(t), z=z(t). La proiezione di P sul piano xy descrive una circonferenza quindi si ha x=rcos(t), y=rsin(t) dove r è il raggio della circonferenza; la coordinata z del punto P varia proporzionalmente a t e quindi si ha z=kt dove k è una costante che determina il passo (se, ad esempio, ad ogni giro completo della proiezione di P sul piano xy, P si alza di una unità allora k = 1/(2π). Con k positivo si ottengono eliche destrorse, con k negativo eliche sinistrorse. Con GeoGebra è facile ottenere il grafico di un elica circolare, basterà inserire le equazioni parametriche mediante il comando curva[x(t),y(t),z(t),t,0,2nπ] nella visualizzazione Grafici 3D.]

Geodetiche sul cilindro