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Abbiamo ormai preparato il terreno per esaminare gli elementi fondamentali della geometria sulla sfera. I punti del nostro ambiente geometrico sono evidentemente i punti della superficie sferica. Chiameremo inoltre:

a) retta ogni linea geodetica cioè ogni circonferenza massima;

b) segmento ogni arco di geodetica.

E' anche facile intendersi su cosa siano gli angoli e su come misurarli. Una creatura bidimensionale definirebbe gli angoli proprio come lo facciamo noi: due circonferenze massime individuano sulla sfera quattro regioni ciascuna delle quali è un angolo (angolo sferico o fuso sferico). Per misurare gli angoli potrebbe riferirsi all'angolo giro. Potrebbe ruotare su se stessa, rimanendo quindi nello stesso punto della superficie, e compiere un giro completo; poi potrebbe dividere tale rotazione in 360 parti. Questo è il punto di vista intrinseco. Per comodità daremo anche una definizione estrinseca della misura di un angolo che conduce a valori identici a quelli intrinseci: la misura dell'angolo individuato da due segmenti con un estremo in comune è la misura dell'angolo (diedro) formato dai due piani che contengono le circonferenze massime su cui giacciono i segmenti.

Nella figura seguente, ad esempio, si vedono due diversi angoli determinati dai segmenti AB e AC: un angolo di 60° e un angolo retto (in questo secondo caso i due segmenti sono perpendicolari in A). Naturalmente i due segmenti AB e AC sono archi geodetici cioè giacciono su circonferenze massime; i piani color arancione che si vedono in figura sono quelli che contengono tali circonferenze massime. Nel secondo caso, quello dell'angolo retto, la sfera resta divisa dai due piani in quattro parti uguali (pensate di tagliare un'arancia in quattro spicchi). Riferendoci sempre al secondo angolo in figura, diremo inoltre che le due rette AB e AC sono perpendicolari in A.

Angoli sferici

Angoli sferici (piani visibili)

Esaminiamo ora rapidamente le principali proprietà non euclidee della nostra geometria, assumendo d'ora in poi un raggio unitario per la sfera.

Proprietà 1 Per due punti del piano euclideo passa una e una sola retta; lo stesso accade per due punti non antipodali di S², ma per due punti antipodali passano infinite rette (vedi paragrafo 7).

Proprietà 2 Due rette euclidee hanno al più un punto in comune mentre due rette di S² hanno sempre due punti in comune; nella figura a fianco vedete due rette r ed s che si incontrano nei punti A e B (A e B sono necessariamente antipodali).

Proprietà 3 Nel piano euclideo esistono rette parallele mentre non esistono rette parallele (cioè rette che non si intersechino) in S².

Osservate ad esempio la figura seguente che mostra due situazioni analoghe, l'una nel piano euclideo e l'altra in S². Si tratta di un fascio di rette perpendicolari alla retta s: nel piano euclideo queste rette non si incontrano (sono tutte parallele), in S² si incontrano tutte nei due punti antipodali P e P'.

I due punti P e P' prendono il nome di poli di s e la retta s prende il nome di retta polare dei punti P e P'. Si osservi che i due poli di s hanno la stessa distanza π/2 da ogni punto della retta s. Questa proprietà dei poli appare meno strana se si pensa che la retta s può essere considerata anche come circonferenza intrinseca di centro P (o di centro P') e raggio π/2.

Proprietà 4 Nel piano euclideo esiste una e una sola retta passante per un dato punto P e perpendicolare a una data retta s; in S² ciò è vero se e solo se P non è un polo per s (vedi figura seguente).

Domanda Sapete dimostrare che in S² per un punto P passa una e una sola perpendicolare alla retta s se e solo se P non è un polo per s? Ragionate estrinsecamente.

[Soluzione.

(a) Supponiamo che P non sia un polo per s, mostriamo che esiste un'unica perpendicolare r a s passante per P. Consideriamo il piano α che contiene s (poiché s è una circonferenza massima, α passa per il centro O della sfera) e la perpendicolare ad α passante per O. Tale perpendicolare incontra la superficie della sfera in due punti antipodali A e A' che sono poli per s (infatti ogni piano per AA' stacca sulla superficie sferica una circonferenza massima perpendicolare a s). Poiché P, per ipotesi, è distinto sia da A che da A' esiste uno e un solo piano β che passi per A, A' e P. Tale piano β individua sulla superficie sferica l'unica circonferenza massima r perpendicolare a s e passante per P.

(b) Supponiamo, viceversa, che la perpendicolare a s per P sia unica. Ne segue che P non può essere un polo per s perché altrimenti, come si è visto, le perpendicolari sarebbero infinite.

Si osservi che si è fatto uso di alcune proprietà dell'ordinario spazio euclideo per provare un teorema di geometria non euclidea. Ciò naturalmente è lecito dato che il nostro modello non euclideo è costruito all'interno dello spazio euclideo. L'aspetto più difficile, ma anche più formativo, in dimostrazioni di questo tipo è l'integrarsi dei due punti di vista intrinseco ed estrinseco. Nel corso della dimostrazione, ad esempio, si parla della perpendicolare al piano α, che è una retta euclidea, e si parla delle circonferenze massime s ed r che sono rette non euclidee.]

Proprietà 5 Le rette euclidee sono infinitamente estese mentre le rette di S² hanno tutte la stessa lunghezza finita 2π.

Proprietà 6 Il piano euclideo è infinitamente esteso mentre S² ha area finita 4π.

Proprietà 7 Di tre punti qualsiasi di una retta euclidea, uno e uno solo sta fra gli altri due; la stessa cosa non si può dire per una retta di S² trattandosi di una linea chiusa.

Osservate la figura seguente: nel caso euclideo per andare da A a B passo necessariamente per C (quindi C sta fra A e B), nel caso di S² posso andare da A a B senza passare per C. Notate inoltre che due punti individuano nel piano euclideo uno e un sol segmento mentre nel caso di S², se non sono antipodali, ne individuano due (un arco maggiore e un arco minore).