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Nel paragrafo precedente abbiamo accennato al fatto che, sulla sfera, figure simili sono addirittura congruenti. Non esistono quindi, in geometria sferica, figure di stessa forma ma di dimensioni diverse.

Per figure congruenti (o uguali) intendiamo figure che possono essere trasformate l'una nell'altra mediante un'isometria cioè mediante una trasformazione di S² che conserva le distanze. Si può dimostrare che le isometrie di S² sono di due tipi (*):

• Rotazioni attorno ad un asse che passi per il centro della sfera. Sono queste le isometrie dirette cioè quelle che corrispondono ad un movimento rigido fisicamente realizzabile rimanendo sulla superficie della sfera.
  
  

• Simmetrie rispetto ad un piano passante per il centro della sfera oppure la composizione di una simmetria di questo tipo e di una rotazione del tipo precedente. Sono queste le isometrie inverse cioè quelle che non corrispondono ad un movimento rigido fisicamente realizzabile sulla superficie della sfera (e, in realtà, nemmeno nello spazio).

Riflettete sul fatto che le simmetrie centrali, potendosi ottenere nello spazio componendo una rotazione di 180° rispetto ad un asse e una simmetria rispetto ad un piano, sono isometrie inverse.

Rotazioni

Animazione rotazioni

Simmetrie

Simmetrie (animazione, sfera invisibile)

Composizione di rotazioni e simmetrie

Vogliamo ora convincerci, sul piano intuitivo, che non esistono sulla sfera figure simili (che non siano addirittura congruenti). Detto in altro modo, vogliamo convincerci che non possiamo ingrandire o ridurre una figura conservandone la forma. Esaminiamo allora due situazioni analoghe: una serie di triangoli equilateri nel piano euclideo e una serie di triangoli equilateri in S². Un triangolo equilatero è definito in geometria sferica esattamente nello stesso modo in cui lo definiamo nel piano: è un triangolo i cui tre lati sono uguali. In generale un poligono regolare sulla sfera è una figura limitata da archi geodetici tutti uguali e con gli angoli tutti uguali. Nella figura seguente vediamo le due situazioni: a sinistra una serie di triangoli equilateri euclidei, a destra una serie di triangoli equilateri sferici.

Come si vede, i triangoli equilateri euclidei hanno gli angoli costantemente uguali a 60° mentre nei triangoli sferici gli angoli (che rimangono tra loro uguali) aumentano all'aumentare della lunghezza del lato. Quindi la forma non si conserva. Anche a colpo d'occhio si capisce che il triangolo equilatero più piccolo non ha la stessa forma di quello più grande: all'aumentare del lato, il triangolo tende ad una situazione limite in cui i tre angoli sono di 180° e i tre lati sono allineati su una circonferenza massima cioè su una retta! Non dovremmo però meravigliarci, la somma degli angoli di un triangolo non si conserva come avviene nel piano euclideo ma varia al variare del triangolo, aumenta all'aumentare dell'area del triangolo. Notiamo inoltre che il triangolo equilatero più piccolo, quello di area relativamente piccola rispetto alla superficie sferica, è "quasi" euclideo, ha una forma "quasi" euclidea, i suoi angoli sono di poco maggiori di 60°.

Triangoli equilateri sulla sfera (animazione)

Una situazione analoga si verifica per qualsiasi poligono regolare sulla sfera. Osservate ad esempio i quadrati della figura seguente, di nuovo ci rendiamo conto che all'aumentare del lato cambia la forma (perché aumentano gli angoli). Di nuovo si passa da un quadrato "quasi" euclideo alla situazione limite in cui gli angoli sono tutti di 180° e il quadrato degenera in una circonferenza massima (cioè, di nuovo, in una retta!).

Domanda Nel piano euclideo il rapporto tra diagonale e lato di un quadrato è costante ed è uguale alla radice quadrata di 2. Cosa si può dire di questo rapporto per un quadrato sferico? E' ancora costante? E' un numero irrazionale?

[Soluzione. La figura precedente ci fa capire che i quadrati sferici si collocano tra due situazioni estreme: quadrati quasi euclidei quando l'area tende a zero e circonferenze massime quando gli angoli tendono a 180°. Nel primo caso il rapporto tra diagonale e lato è quasi euclideo cioè tende alla radice di 2, nel secondo caso tende a π/(π/2) = 2. Poiché le grandezze in gioco variano con continuità anche il rapporto in questione varia con continuità tra radice di 2 e 2, assumendo quindi infiniti valori razionali e infiniti valori irrazionali. Possiamo concludere che in geometria sferica esistono quadrati per cui lato e diagonale sono commensurabili.]

In geometria sferica i poligoni regolari hanno dunque angoli che variano al variare del lato. Ciò ha delle sorprendenti conseguenze. Osserviamo ad esempio le tassellazioni della sfera della figura seguente: sono tassellazioni impossibili nel piano euclideo.

Nella prima tassellazione in ogni vertice si incontrano cinque triangoli equilateri (quindi gli angoli dei triangoli equilateri sono in questo caso di 72°), nella seconda tre pentagoni regolari (quindi gli angoli dei pentagoni regolari sono in questo caso di 120°). Nella figura a fianco vedete la situazione analoga del piano: nel primo caso in ogni vertice si incontrano sei (e non cinque!) triangoli equilateri e nel secondo caso i pentagoni regolari non tassellano il piano perché rimangono degli spazi vuoti.

Osservate infine il pallone da calcio della figura seguente: anche qui abbiamo una tassellazione non euclidea (perché?).