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La formula per la somma degli angoli di un triangolo sferico costituisce un risultato importante che merita alcune riflessioni.



La geometria euclidea come caso limite

La formula α + β + γ = π + A ci dice che la somma degli angoli di un triangolo sferico varia al variare dell'area del triangolo. Tanto maggiore è l'area del triangolo, tanto più la somma degli angoli si discosta da π. Per triangoli di area molto piccola rispetto a π la nostra formula ci fornisce valori quasi euclidei per la somma degli angoli. In altri termini le due formule

α + β + γ = π
(formula euclidea)

α + β + γ = π + A
(formula ellittica)

possono considerarsi equivalenti se l'area A del triangolo sferico tende a zero. In questo senso possiamo affermare che la geometria euclidea è un caso limite della geometria ellittica. In effetti se ci limitassimo a considerare un intorno molto piccolo di un punto P sulla superficie sferica, potremmo approssimare questa piccola regione con una corrispondente regione del piano tangente in P alla sfera. E la geometria sul piano tangente è naturalmente una geometria euclidea.



Un criterio di congruenza non euclideo

Si potrebbe dimostrare che per i triangoli sferici valgono quattro criteri di uguaglianza (di congruenza): i primi tre sono del tutto analoghi a quelli per i triangoli euclidei, il quarto criterio è invece il seguente: due triangoli sferici sono uguali (congruenti) se hanno angoli corrispondenti uguali (congruenti). Nel piano euclideo due triangoli che abbiano angoli corrispondenti uguali non sono in generale uguali ma sono simili; se però due triangoli simili hanno la stessa area allora sono necessariamente uguali. Nel caso dei triangoli sferici abbiamo visto che avere angoli corrispondenti uguali (e quindi somme angolari uguali) implica avere aree uguali (vedi il corollario del paragrafo 19); ne segue che triangoli sferici simili sono necessariamente uguali. La teoria euclidea della similitudine perde di senso in geometria sferica: figure che hanno la stessa forma sono necessariamente congruenti.



Il ruolo di  π

Avrete certamente notato il ruolo fondamentale di π nella geometria sferica: distanze, aree, angoli possono essere espressi in funzione di π (considerate ad esempio il triangolo equilatero "trirettangolo" del paragrafo 19: ogni lato è lungo π/2, l'area è π/2, ogni angolo è π/2). Tenete presente che il confronto tra aree e angoli è così semplice proprio perché abbiamo misurato gli angoli in radianti. E' importante osservare però che la costante π ha una sua definizione estrinseca (rapporto tra lunghezza di una circonferenza estrinseca e suo diametro) mentre non può essere definita intrinsecamente (per le circonferenze intrinseche il rapporto tra la loro lunghezza e il doppio del raggio non solo non è uguale a π ma non è nemmeno costante, vedi paragrafo 14).



La formula ellittica per una generica sfera di raggio r

La formula α + β + γ = π + A è stata dimostrata nell'ipotesi di una sfera di raggio unitario. Ma è molto facile ottenere una formula anche nel caso generale di una sfera di raggio r. Basta osservare che l'area di un doppio fuso sferico di angolo α è in questo caso 4αr²; perciò l'equazione

area sup. sferica =
     area dei tre doppi fusi
     - 2 volte area triangolo ABC
     - 2 volte area triangolo A'B'C'

del paragrafo 19 diventa

4πr² = 4αr² + 4βr² + 4γr² - 4A

α + β + γ = π + A/r²

Nella formula precedente il termine A/r² prende il nome di eccedenza angolare del triangolo (o eccesso sferico del triangolo) e si indica con E; pertanto la formula può scriversi nella forma

α + β + γ = π + E