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Come ricorderete, per le curve nel piano la nozione di curvatura in un punto P ci consentiva di valutare lo scostamento della curva dalla tangente nelle immediate vicinanze del punto considerato cioè lo scostamento dall'andamento rettilineo; in modo analogo la curvatura di una superficie in suo punto P dovrà misurare lo scostamento della superficie dal piano tangente in P nelle immediate vicinanze del punto considerato. Nella figura seguente vedete ad esempio due superfici sferiche: la sfera a destra ha raggio decisamente maggiore di quella a sinistra. Ora si capisce che una grande sfera ha curvatura minore di una piccola sfera. Osservando la figura si capisce infatti che la superficie a destra si scosta meno dal piano tangente, in un intorno del punto P, di quanto non accada per la superficie a sinistra.

Cerchiamo di precisare queste osservazioni di carattere intuitivo. Consideriamo allora una qualsiasi superficie Σ, un punto P di Σ e la retta n normale a Σ in P cioè perpendicolare al piano tangente a Σ in P. Ora ogni piano che contiene la normale n taglia la superficie secondo una curva che prende il nome di sezione normale per P. Le sezioni normali avranno naturalmente una curvatura in P (come curve piane) che varia al variare del piano; si dimostra però che la curvatura delle sezioni normali per P ammette un minimo e un massimo, indichiamoli con k₁ e k₂, in corrispondenza di due piani tra loro ortogonali. Bene, chiameremo curvatura di Σ in P il numero

k = k₁k₂

Fate attenzione: k₁ e k₂ sono curvature in P di oggetti monodimensionali (curve piane) mentre k è, per definizione, la curvatura in P di un oggetto bidimensionale (superficie).





Nella figura a fianco vedete ad esempio un ellissoide; P è un punto della superficie e la retta verde è la normale in P. Tale retta è perpendicolare al piano tangente in P. Intuitivamente il piano tangente alla superficie è il piano che contiene le tangenti ad ogni curva che giaccia sulla superficie e passi per P.

Piano tangente e versore normale in un punto della superficie di un ellissoide


Nota L'equazione dell'ellissoide realizzato con Geogebra è del tipo x²+y²+kz²=a (precisamente: x²+y²+0.5z²=10). Posto f(x,y,z)=x²+y²+kz², un vettore n normale alla superficie in un punto P dell'ellissoide è dato dal gradiente ∇f=<∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z> calcolato in P. Quindi n=<2x, 2y, 2kz>.





Nella figura a fianco vedete alcuni dei piani passanti per la normale (potete pensare dinamicamente ad un piano che ruota attorno alla normale). Ogni piano determina sulla superficie una sezione normale.

Sezioni normali ellissoide

Sezioni normali ellissoide (animazione)

Le due curve evidenziate in arancione nella figura a fianco sono le due sezioni normali di curvatura in P rispettivamente minima e massima. La curva γ₁ ha raggio di curvatura massimo in P, indichiamolo con r₁, quindi ha curvatura minima k₁=1/r₁; la curva γ₂ ha raggio di curvatura minimo in P, indichiamolo con r₂, quindi curvatura massima k₂=1/r₂. Come vedete, le due curve si trovano su piani ortogonali. Si intuisce che le curve sezione, in figura ne vedete altre due in viola, hanno il raggio di curvatura che varia con continuità tra r₂ e r₁ (tra il minimo e il massimo). Osservate inoltre che le due curve sezione evidenziate volgono la concavità entrambe verso il basso rispetto alla normale orientata come in figura; ne consegue che i raggi di curvatura r₁ e r₂ hanno entrambi segno negativo (perché il centro di curvatura si trova sulla semiretta negativa della normale orientata come in figura e con origine in P) e quindi la curvatura k=1/(r₁r₂) in P è positiva. Orientando la normale nell'altro modo possibile avremmo naturalmente ancora un valore positivo per k. Per qualsiasi punto P dell'ellissoide la curvatura, pur variando, rimane sempre positiva; potete rendervi conto, applicando la definizione, che se il punto P si sposta sulla sommità dell'ellissoide allora la curvatura della superficie aumenta perché diminuiscono i raggi di curvatura r₁ e r₂.

Nel caso di una superficie sferica di raggio r si ha invece che tutte le sezioni normali, per qualsiasi punto P, sono uguali; sono infatti circonferenze massime di curvatura 1/r (tenete presente che il piano tangente è perpendicolare al raggio della sfera per P, quindi la normale n passa per il centro della sfera); ne segue che la curvatura della superficie è ovunque uguale a 1/r² ed è sempre positiva. La superficie sferica ha curvatura costante positiva.

Consideriamo ora la superficie a sella della figura seguente; si tratta della superficie di equazione z=xy, l'abbiamo tracciata con Derive. Sono evidenziate in rosso le due curve, sono due parabole, che ci consentono di valutare la curvatura della superficie in P. Ora attenzione: la prima è la sezione normale che ha curvatura massima, in valore assoluto, tra quelle che volgono la concavità verso il basso rispetto all'orientamento di n (il raggio di curvatura, chiamiamolo r₁, è negativo perché il centro di curvatura si trova sulla normale al di sotto di P); la seconda è la sezione normale che ha curvatura massima tra quelle che volgono la concavità verso l'alto (il raggio di curvatura, chiamiamolo r₂, è positivo perché il centro di curvatura si trova sulla normale al di sopra di P). Poiché k=1/(r₁r₂) segue che la curvatura k è negativa in P.