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Abbandoniamo ora il piano euclideo - lo abbiamo anche chiamato spazio E², ricordate? - e torniamo a considerare la superficie di una sfera (lo spazio S²). Vi crea qualche problema il fatto di utilizzare il termine "spazio" per indicare anche il piano o la superficie di una sfera? Da una punto di vista matematico il termine spazio viene spesso usato al posto di ambiente geometrico. E un ambiente geometrico può avere una, due, tre dimensioni (o anche più di tre). Ad esempio, possiamo considerare una retta come uno spazio a una dimensione. La nozione matematica di spazio è molto più generale e astratta di quella del linguaggio comune.

Immaginiamo degli esseri bidimensionali liberi di muoversi in S²: il loro spazio è la superficie di una sfera. Per noi che contempliamo la sfera immersa nello spazio tridimensionale questi esseri vivono sulla superficie S² (punto di vista estrinseco); ma per loro non ha senso parlare di "sopra", diranno di vivere in S² (punto di vista intrinseco), così come noi diciamo di vivere nello spazio tridimensionale. Immaginate ora che una di queste creature si muova lungo una circonferenza massima: potete essere certi che dal suo punto vista (intrinseco) dirà di "andar dritto"; abbiamo infatti visto nei paragrafi precedenti come le circonferenze massime su una sfera siano l'equivalente delle rette nel piano euclideo (geodetiche). Quindi: da un punto di vista intrinseco le circonferenze massime non hanno curvatura.

Ciò può essere illustrato con un metodo suggestivo, di tipo meccanico, che ci consente di decidere se stiamo andando dritto o se stiamo curvando. Consideriamo un carrellino a due ruote indipendenti; se spingiamo il carrellino sul piano, lungo un percorso rettilineo, la ruota di sinistra percorrerà, in ogni istante, la stessa distanza di quella di destra mentre ciò non accadrà su un tratto di curva (vedi figure seguenti).

Analogamente se spingeremo il carrellino sulla superficie di una sfera, lungo una circonferenza massima, le due ruote percorreranno la stessa distanza (stiamo andando "dritto") mentre ciò non accadrà se spingeremo il carrellino lungo un parallelo che non sia un equatore (che non sia cioè una circonferenza massima). Osservando la figura seguente potete rendervi conto che nel caso del primo percorso le ruote si muovono su paralleli simmetrici rispetto all'equatore quindi percorrono la stessa distanza; nel secondo percorso la ruota più a nord percorre invece una distanza minore di quella più a sud (stiamo curvando).

Chiudiamo questo paragrafo con un brano tratto dal libro fantastico Sphereland, del 1965, scritto dal matematico olandese Dionys Burger. Si tratta di una ideale continuazione di Flatland, il libro di Abbot a cui abbiamo già accennato (vedi paragrafo 6). E' un brano che ci farà riflettere. Gli abitanti della Flatlandia di Burger sono creature 2D che vivono sulla superficie di una sfera (senza esserne consapevoli, naturalmente); nel brano il protagonista, sognando, ha una visione 3D del suo mondo e racconta il suo incantato stupore:

Mi appisolai e feci un sogno. Ma, con mia sorpresa, questa volta non ebbi una visione della Linelandia, luogo che ero solito visitare in veste di illuminato abitante della Flatlandia, premuroso di rivelare a quei cittadini una verità che per me era così ovvia poiché potevo vedere le vere relazioni che quella gente non era in grado di percepire; no, sognai qualcosa di affatto diverso. Ero una Sfera proveniente dal Paese delle tre dimensioni e visitavo il mio mondo, la mia Flatlandia. No, non la Flatlandia, bensì la Sferelandia, poiché ora riuscivo a vedere con chiarezza che il mio mondo era curvato in una direzione che non mi era mai stata visibile in precedenza [...]
Guardo a destra, a sinistra, da tutte le parti, eppure il mondo, il mio mondo, non si estende infinitamente in ogni direzione. Naturalmente no, perché il mio mondo non è infinito. Non si estende all'infinito da tutte le parti. E' incurvato, un mondo curvo. Posso farne il giro! Posso volare tutt'intorno al mio mondo, alla mia sferica Flatlandia. E' una cosa assolutamente fantastica [...]
Ma quei raggi di luce? In che modo viaggiano? Vanno diritti? In linea retta? No, naturalmente no. Non possono lasciare lo spazio, il loro spazio. Devono seguire la curvatura di quello spazio poiché appartengono ad esso. A noi abitanti della Sferelandia essi appaiono come linee rette. Noi pensiamo che la luce viaggi in linea retta. I raggi, nel nostro spazio, in realtà non sono curvi ma seguono la curvatura di esso. Sono obbligati a farlo. Ma visti dall'esterno essi non sono rette, non sono altro che le linee di collegamento più brevi possibile sulla superficie di una sfera.