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Sappiamo bene che una circonferenza è, nel piano euclideo, il luogo dei punti equidistanti da un punto dato (il centro). Applichiamo la stessa definizione a S², tenendo conto delle distanze intrinseche da P (vedi il paragrafo 8). Nella figura a fianco è rappresentata una circonferenza intrinseca di centro P e raggio s.

Come vedete una circonferenza intrinseca è una circonferenza anche dal punto di vista estrinseco (possiamo ottenerla tagliando la superficie sferica con un piano) ma da un punto di vista estrinseco avrebbe centro e raggio diversi; osservate infatti la figura seguente: il centro estrinseco è P' e il raggio estrinseco s'.

Un essere bidimensionale traccerebbe in S² la sua circonferenza proprio come facciamo noi nel piano: fisserebbe un filo nel punto P e poi si muoverebbe in modo da descrivere una curva chiusa tenendo il filo sempre in tensione. Tutti i punti della curva avrebbero la stessa distanza (intrinseca) da P uguale alla lunghezza del filo.

Ci sono delle sostanziali differenze fra la geometria delle circonferenze in E² e in S². Assumiamo una superficie sferica S² di raggio unitario. Potete osservare, nella figura seguente, che all'aumentare del raggio (intrinseco) r, la lunghezza di una circonferenza in S² prima aumenta fino ad arrivare al suo massimo 2π quando il raggio è uguale a π/2, poi comincia a diminuire fino ad andare a zero quando il raggio è uguale a π.

Al contrario l'area dei cerchi corrispondenti aumenta sempre all'aumentare del raggio fino a raggiungere il suo massimo 4π quando il raggio è uguale a π (in questo caso l'area del cerchio è uguale all'area di tutta la superficie sferica, cioè di tutto lo "spazio" che ha area finita).

Ma ecco la cosa più interessante da notare: se consideriamo le infinite circonferenze intrinseche di centro P e raggio r (vedi figura precedente), tra queste c'è una e una sola circonferenza massima (quella di raggio π/2). Questa circonferenza è però anche una geodetica, è cioè intrinsecamente retta. Possiamo quindi concludere che in S² le linee rette sono particolari circonferenze. Ciò non accade nel piano euclideo dove rette e circonferenze sono enti geometrici ben distinti (a meno che non si consideri una retta come una circonferenza di raggio infinito). Qui ci rendiamo conto dell'eleganza della geometria su S².

Circonferenze intrinseche

Domanda Ogni circonferenza intrinseca di centro P e raggio r può anche essere definita come circonferenza di centro P' e raggio r'; qual è la relazione tra P e P' e tra r e r'? Riflettete sulla differenza rispetto alla situazione nel piano euclideo: in S² una stessa circonferenza può essere definita in due modi diversi, con centri e raggi diversi. Una stessa circonferenza può essere considerata come il contorno di due cerchi diversi.

[Soluzione. P' deve essere antipodale rispetto a P e deve essere r'=π-r.]

Occupiamoci ora di un'altra questione. Nella figura a fianco vedete una circonferenza. Il centro intrinseco è il punto A mentre il centro estrinseco è il punto A' (che si trova sul piano secante); il raggio intrinseco è r, quello estrinseco è r'. Tenendo presente che abbiamo assunto una sfera di raggio unitario, ci si rende conto che la misura della raggio intrinseco r non è altro che la misura in radianti dell'angolo α indicato in figura (O è il centro della sfera). Ne segue che tra i due raggi intercorre la relazione

r'=sen r

c=2π sen r

c/(2r) = π sen r / r

c/(2r)=π

lim   π sen r / r = π
^r→0

lim  sen r / r = 1
^r→0

4π sen²(r/2)