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14. Circonferenze intrinseche

Sappiamo bene che una circonferenza , nel piano euclideo, il luogo dei punti equidistanti da un punto dato (il centro). Applichiamo la stessa definizione a S2, tenendo conto delle distanze intrinseche da P (vedi il paragrafo 8). Nella figura a fianco rappresentata una circonferenza intrinseca di centro P e raggio s.

Come vedete una circonferenza intrinseca una circonferenza anche dal punto di vista estrinseco (possiamo ottenerla tagliando la superficie sferica con un piano) ma da un punto di vista estrinseco avrebbe centro e raggio diversi; osservate infatti la figura seguente: il centro estrinseco P' e il raggio estrinseco s'.


Un essere bidimensionale traccerebbe in S2 la sua circonferenza proprio come facciamo noi nel piano: fisserebbe un filo nel punto P e poi si muoverebbe in modo da descrivere una curva chiusa tenendo il filo sempre in tensione. Tutti i punti della curva avrebbero la stessa distanza (intrinseca) da P uguale alla lunghezza del filo.

Ci sono delle sostanziali differenze fra la geometria delle circonferenze in E2 e in S2. Assumiamo una superficie sferica S2 di raggio unitario. Potete osservare, nella figura seguente, che all'aumentare del raggio (intrinseco) r, la lunghezza di una circonferenza in S2 prima aumenta fino ad arrivare al suo massimo 2π quando il raggio uguale a π/2, poi comincia a diminuire fino ad andare a zero quando il raggio uguale a π.


Al contrario l'area dei cerchi corrispondenti aumenta sempre all'aumentare del raggio fino a raggiungere il suo massimo 4π quando il raggio uguale a π (in questo caso l'area del cerchio uguale all'area di tutta la superficie sferica, cio di tutto lo "spazio" che ha area finita).


Ma ecco la cosa pi interessante da notare: se consideriamo le infinite circonferenze intrinseche di centro P e raggio r (vedi figura precedente), tra queste c' una e una sola circonferenza massima (quella di raggio π/2). Questa circonferenza per anche una geodetica, cio intrinsecamente retta. Possiamo quindi concludere che in S2 le linee rette sono particolari circonferenze. Ci non accade nel piano euclideo dove rette e circonferenze sono enti geometrici ben distinti (a meno che non si consideri una retta come una circonferenza di raggio infinito). Qui ci rendiamo conto dell'eleganza della geometria su S2.

Circonferenze intrinseche

Domanda Ogni circonferenza intrinseca di centro P e raggio r pu anche essere definita come circonferenza di centro P' e raggio r'; qual la relazione tra P e P' e tra r e r'? Riflettete sulla differenza rispetto alla situazione nel piano euclideo: in S2 una stessa circonferenza pu essere definita in due modi diversi, con centri e raggi diversi. Una stessa circonferenza pu essere considerata come il contorno di due cerchi diversi.

[Soluzione. P' deve essere antipodale rispetto a P e deve essere r'=π-r.]


Occupiamoci ora di un'altra questione. Nella figura a fianco vedete una circonferenza. Il centro intrinseco il punto A mentre il centro estrinseco il punto A' (che si trova sul piano secante); il raggio intrinseco r, quello estrinseco r'. Tenendo presente che abbiamo assunto una sfera di raggio unitario, ci si rende conto che la misura della raggio intrinseco r non altro che la misura in radianti dell'angolo α indicato in figura (O il centro della sfera). Ne segue che tra i due raggi intercorre la relazione

r'=sen r
e dunque la lunghezza c della circonferenza in funzione del suo raggio intrinseco
c=2π sen r
Quindi il rapporto tra circonferenza e diametro (intrinseco) non , nella geometria sulla sfera, costante e vale
c/(2r) = π sen r / r
La costante π non pu dunque essere definita in modo intrinseco come rapporto tra circonferenza e diametro. Si osservi tuttavia che per valori del raggio intrinseco r molto piccoli (prossimi a zero) si ritrova la situazione euclidea
c/(2r)=π
infatti si ha
lim   π sen r / r = π
r→0
ricordando che
lim  sen r / r = 1
r→0
E' inoltre facile dimostrare che l'area del cerchio in funzione del raggio intrinseco r data dalla formula
4π sen(r/2)