Un'isometria del piano è una trasformazione del piano che conserva le distanze (da cui segue, come è facile dimostrare, che trasforma rette in rette). Vogliamo determinare quali trasformazioni lineari siano isometrie (le chiameremo isometrie lineari). Condizione necessaria affinchè una trasformazione lineare sia un'isometria è che i versori degli assi [1, 0] e [0, 1], che hanno modulo unitario (cioè lunghezza 1), si trasformino in vettori di modulo 1 (perchè devono conservarsi le distanze); inoltre il vettore [1, 1] deve trasformarsi in un vettore di ugual modulo (per lo stesso motivo). Ricorda che il modulo di un vettore [x, y] è dato da

Quindi, tenendo conto che A² + B² = 1, il determinate di una matrice ortogonale, cioè della matrice di un isometria lineare, è 1 oppure -1. Ciò è in accordo col fatto che un'isometria, conservando le distanze, conserva le aree (vedi l'esperimento 2 dell'attività 1). Osserva inoltre che se la matrice M è del tipo della riga #45 si tratta di un'isometria diretta, se è del tipo della riga #48 di un'isometria indiretta. Ricorda infatti che se il determinante di una trasformazione lineare è positivo allora si conserva l'orientamento (vedi l'esperimento 2 dell'attività 1) se è negativo si inverte l'orientamento.




 Esperimento 1

Determina la matrice M della trasformazione lineare che ruota i versori degli assi di t radianti rispetto all'origine. Verifica che si tratta di un'isometria, più precisamente di una rotazione del piano attorno all'origine.

• il versore [1, 0] dovrà trasformarsi nel vettore [cos t, sin t] (prima colonna di M)
  
  
• il versore [0, 1] dovrà trasformarsi nel vettore [cos( + t), sin( + t)] (seconda colonna di M).

Osserva che semplificando la riga #6, Derive mette la matrice M(t) nella forma più semplice della riga #7 (applicando le note formule trigonometriche per archi che differiscono di 90°). La riga #7 ci fa capire che la matrice M(t) è del tipo

con A² + B² = 1 e quindi si tratta della matrice di un isometria. Poichè si ha det(M)=1 per ogni t, si tratta di un isometria diretta; ne segue che la trasformazione è necessariamente una rotazione del piano attorno all'origine, tenendo conto che l'origine è un punto fisso (qui devi ricordare che le isometrie dirette del piano sono rotazioni o traslazioni e che una traslazione di componenti non entrambe nulle non ha punti uniti).

E' il momento di mettere alla prova il nostro comando rot(P, t). A titolo d'esempio costruiamo un pentagono regolare ruotando il punto P = [0, 1] rispetto all'origine di

(considereremo anche la rotazione nulla e quella di un angolo giro per ottenere all'inizio e alla fine il punto P). Ecco il codice

Tracciando la rappresentazione grafica della riga #12 (semplificazione della #11) ottieni il pentagono regolare della figura seguente

Osservazione 1 Abbiamo dunque visto che la matrice di una rotazione attorno all'origine è del tipo

con A² + B² = 1.




 Esperimento 2

Determina la matrice M della trasformazione lineare che ribalta i versori degli assi rispetto alla retta r passante per l'origine e formante un angolo di t radianti con l'asse delle x. Verifica che si tratta di un'isometria, più precisamente di una simmetria rispetto alla retta r.

Tenendo conto delle figure precedenti e della proprietà 5 delle trasformazioni lineari esaminata nell'attività precedente è facile determinare la matrice M:

• il versore i = [1, 0] dovrà trasformarsi nel vettore i' = [cos (2t), sin (2t)] (prima colonna di M)
  
  
• il versore j = [0, 1] dovrà trasformarsi nel vettore j' = [cos (2-(/2-2t)), sin(2-(/2-2t))] =
  = [sin(2t), -cos(2t)] (seconda colonna di M).

La matrice M(t) è, come vedi, del tipo

Verifichiamo che si tratta della matrice di un'isometria indiretta e quindi, ricordando che le isometrie indirette del piano sono simmetrie o antitraslazioni (e che queste ultime non hanno punti uniti), si tratta necessariamente di una simmetria rispetto alla retta r

Proviamo il nostro comando simm(P, t). A titolo d'esempio consideriamo il pentagono regolare dell'esempio precedente (vai a rivedere la figura) e verifichiamo che torna su se stesso mediante una simmetria rispetto alla retta per l'origine e per il punto D (naturalmente si avrà una permutazione dei vertici). Tale retta forma evidentemente un angolo di radianti con l'asse delle x. Ecco il codice

Confrontando le coordinate alle righe #12 e #15, ti rendi conto che ogni vertice del pentagono è trasformato in un altro vertice del pentagono e quindi la figura torna su se stessa.

Osservazione 2 Ci siamo dunque resi conto che un'isometria lineare è una rotazione rispetto all'origine oppure una simmetria rispetto ad una retta per l'origine.

• Nel primo caso la sua matrice è del tipo

  
  
  

  o, equivalentemente, del tipo
  
  

  
  
  

• Nel secondo caso la sua matrice è del tipo

  
  
  

  o, equivalentemente, del tipo