Se t₁ e t₂ sono due trasformazioni, possiamo eseguirle una di seguito all'altra (prima t₁ e poi t₂) ottenendo così una nuova trasformazione t₃; se t₁ porta il punto [x, y] nel punto [x', y'] e t₂ porta il punto [x', y'] nel punto [x", y"] allora t₃ porta "direttamente" il punto [x, y] nel punto [x", y"]. Quindi

t₃([x, y]) = t₂(t₁([x, y])) = [x", y"]

Come sai, la trasformazione t₃ che porta [x, y] in [x", y"] si chiama prodotto o composizione delle due trasformazioni t₂ e t₁ e si scrive

t₃ = t₂t₁

Mostriamo che il prodotto di due trasformazioni lineari t₂ e t₁ è ancora una trasformazione lineare e, se B ed A sono rispettivamente le matrici di t₂ e t₁ allora la matrice BA, prodotto delle due matrici, è la matrice della trasformazione prodotto t₂t₁ (questo fatto, per inciso, è un buon motivo per giustificare l'usuale definizione di prodotto tra matrici). Ecco il codice

Verifichiamo che, essendo per ipotesi A e B due matrici a determinante non nullo, la matrice C ha anch'essa determinante non nullo e quindi la funzione composta è effettivamente una trasformazione geometrica (condizione di biunivocità); ciò segue dal fatto che il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei determinanti. Ecco il codice

Osservazione Abbiamo dunque mostrato per via algebrica che componendo due trasformazioni lineari si ottiene ancora una trasformazione lineare. Ma che le cose stiano così lo si poteva capire, immediatamente, per via geometrica. E' chiaro infatti che il prodotto di due trasformazioni è ancora una trasformazione (perchè il prodotto di corrispondenze biunivoche è ancora una corrispondenza biunivoca) e che il prodotto di due trasformazioni che mutano rette in rette e fissano l'origine è ancora una trasformazione che muta rette in rette e fissa l'origine. Rifletti.




 Esperimento 1

Considera il triangolo ABC con A=[1, 2], B=[1, 4], C=[2, 2]. Applica al triangolo la trasformazione ottenuta componendo nell'ordine una rotazione antioraria di 45° rispetto all'origine e una simmetria rispetto alla retta di equazione y=x. Applica quindi le trasformazioni in ordine inverso, cioè prima la simmetria e poi la rotazione: ottieni la stessa trasformazione composta? (Vale, cioè, la proprietà commutativa per il prodotto di trasformazioni?)

Ecco codice e figura (il triangolo rosso è quello di partenza, quello azzurro è il trasformato per rotazione, quello rosa è il trasformato per rotazione e simmetria)

Nota che la retta di equazione y=x forma con l'asse delle x un angolo di /4 radianti e quindi la matrice della trasformazione è

In figura vedi il triangolo ABC (quello rosso), il triangolo ABC trasformato per simmetria (quello azzurro), il triangolo ABC trasformato applicando prima la simmetria e poi la rotazione (quello rosa). La trasformazione composta rotazione per simmetria non è dunque equivalente alla trasformazione composta simmetria per rotazione: non vale (in generale) la proprietà commutativa. Ne hai la conferma confrontando la matrice della nuova trasformazione composta con la matrice della riga #23

 Esperimento 2

Considera il solito triangolo ABC con A=[1, 2], B=[1, 4], C=[2, 2]. Applica al triangolo la trasformazione ottenuta componendo nell'ordine una rotazione antioraria di 45° rispetto al punto C e una simmetria rispetto alla nuova posizione del lato BC.

Fai attenzione, qui entrano in gioco una rotazione rispetto a un punto diverso dall'origine e una simmetria rispetto a una retta non passante per l'origine; le equazioni delle trasformazioni (isometrie) sono quindi quelle esaminate nell'attività 7. Ti rendi conto inoltre, geometricamente, che la trasformazione composta di una rotazione e di una simmetria sarà un'isometria indiretta (perciò la matrice della trasformazione composta avrà determinante uguale a -1).

Ecco codice e figura (il triangolo rosso è quello di partenza, quello azzurro è il trasformato per rotazione, quello rosa è il trasformato per rotazione e simmetria)

Ora qualche semplice osservazione sul (comodo!) calcolo matriciale. Le equazioni in forma matriciale delle due trasformazioni sono

che grazie alle proprietà distributiva e associativa del prodotto di matrici diventa

La matrice della trasformazione composta è quindi M2·M1 e il vettore è M2·v1+v2. Verifichiamolo.